Вторая степень

Что такое степень числа

Вторая степень
Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 46

Выражение 46 называют степенью числа, где:

  • 4 — основание степени;
  • 6 — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

Запись «an» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

  • a2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
  • a3 — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

  • a2 — «а во второй степени»;
  • a3 — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Запомните!

Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1n = 1

Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

  • (−32)0 = 1
  • 0253 = 0
  • 14 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

  • 53 = 5 · 5 · 5 = 125
  • 2,52 = 2,5 · 2,5 = 6,25
  • ()4 = · · · =
    3 · 3 · 3 · 3
    4 · 4 · 4 · 4

    =

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a2 ≥ 0 при любом a.

  • 2 · (−3)2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
  • −5 · (−2)3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)4 и −54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−54» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

  1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
    54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
  2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
    −54 = −625

Пример. Вычислить: −62 − (−1)4

−62 − (−1)4 = −37

  1. 62 = 6 · 6 = 36
  2. −62 = −36
  3. (−1)4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
  4. −(−1)4 = −1
  5. −36 − 1 = −37

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Fstepeni%2Fstepeni1.php

Формулы сокращенного умножения:степень суммы и степень разности

Вторая степень

Справочник по математикеАлгебраФормулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

      Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) ,(x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,(x + y)4 = (x + y)3(x + y)

и т.д.

      Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

      Таблица 1. – Степень суммы

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)суммы(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
Квадрат (вторая степень) суммы(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы(x + y)3 == x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы(x + y)4 = x4 + 4x3y ++ 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы(x + y)5 = x5 + 5x4y ++ 10x3y2 ++ 10x2y3 ++ 5xy4 + y5
Шестая степень суммы(x + y)6 = x6 + 6x5y ++ 15x4y2 ++ 20x3y3 ++ 15x2y4 + 6xy5 + y6

      Общая формула для вычисления суммы

(x + y)n

с произвольным натуральным значением   n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

      Если в формулах из Таблицы 1 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

      Таблица 2. – Степень разности

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)разности(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Куб (третья степень) разности(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Четвертая степень разности(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности(x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5
Шестая степень разности(x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6
Квадрат (вторая степень) разности(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Куб (третья степень) разности(x – y)3 == x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Четвертая степень разности(x – y)4 = x4 – 4x3y ++ 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности(x – y)5 = x5 – 5x4y ++ 10x3y2 –– 10x2y3 ++ 5xy4– y5
Шестая степень разности(x – y)6 = x6 – 6x5y ++ 15x4y2 –– 20x3y3 ++ 15x2y4 – 6xy5 + y6

Квадрат многочлена

      Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

      Словами эту формулу можно выразить так: – «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

      Следующая формула называется «Куб трехчлена»:

(x + y + z)3 =
= x3 + y3 + z3 + 3x2y +
+ 3x2z + 3xy2 +
+ 3xz2 +
+ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .

     Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку
    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».Запись по телефону (495) 509-28-10

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/brief1.htm

Как возвести число в натуральную и дробную степень

Вторая степень

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике.

Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности.

О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Что означает возведение в степень

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a.

Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a…*a, поделенное на n.

В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

  1. Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)4 = 16.
  2. Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Иррациональные числa

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Пример:

  • К примеру, нам следует возвести в квадрат числo пи.
  • Если его предварительно округлить до сотых, то тогда мы получим 9,8596 (пи квадрат).
  • Если взять просто пи — 3,1415 — возведение в «квадрат» без округления даст следующее значение 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Возведение числа в дробную степень

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Пример. Вычислите значение 8 в отрицательную степeнь -2/3

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

  • 1-й прием. Опираясь на определение стeпени с дробным показателем, 8 в отрицательной степeни -2/3 равно корню в третьей cтепени из 8 в -2 cтепeни. Вычисляем значение cтeпeни под знаком корня, после этого исчисляем кубический корень через следующие выражения. Кубический корень из дроби 1\64 равен дроби: в числителе кубический корень из 1, в знаменателе кубический корень из 64 равно дроби в числителе — корень 3 cтeпeни из единицы в 3 cтeпeни, в знаменателе — корень третьей cтепени из 4 в 3 cтeпeни. Получаем 1\4.
  • 2-й прием. Согласно определению степени с дробным показателем и на базе свойств корней, правомерны следующие равенства: 8 в -2\3 степени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени. Теперь следует извлечь и возвести в целую cтeпень. Получается, соответственно, 1\4.

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

В заключение, отдельно остановимся на возведении в 1-ую cтепень. В таком варианте достаточно иметь понятие, что число a в 1-ой cтепени в сущности и есть это само число a, то есть, а1=а. Это представляет частный случай формулы при n равном 1. К примеру, (-9)1= -9.

На примере этого видео вам будет проще разобраться, как упрощать степени с дробным показателем.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-vozvesti-chislo-v-naturalnuyu-i-drobnuyu-stepen

2 степень зрелости плаценты

Вторая степень

Плацента при беременности – это важнейший орган, соединяющий мать с ребенком и обеспечивающий нормальную жизнедеятельность плода. С течением времени, по мере развития эмбриона, плацента имеет свойство стареть, или, говоря научным языком, проходит несколько стадий зрелости.

Созревание плаценты – это естественный процесс, который необходим для полноценного обеспечения будущего ребенка всеми необходимыми питательными веществами.

Вторая степень зрелости плаценты в норме соответствует срокам от 34 до 37 недели беременности. В этот период слегка волнистая поверхность плаценты становится более бугристой, появляются множественные четкие эхопозитивные вкрапления.

Показатель зрелости плаценты обычно определяют с помощью УЗИ диагностики, как и толщину плаценты, что тоже является важной характеристикой нормального функционирования плода. При 2 степени зрелости плаценты ее толщина должна быть в пределах от 28 до 49 мм.

Несоответствие толщины плаценты и срокам степени зрелости говорит о нарушении течения беременности и возможной угрозе для плода.

Нарушения и патологии связанные со степенью зрелости плаценты

Как уже было сказано выше, плацента второй степени зрелости обычно соответствует сроку 34-37 неделе беременности. Если же на УЗИ женщине ставят 2 зрелость плаценты на более раннем сроке, говорят о преждевременном старении плаценты.

Преждевременное старение плаценты

Характеризуется более ранним развитием плаценты (старением), что влечет за собой возможные угрожающие здоровью плода состояния.

Чаще всего говорят о гипоксии плода, то есть недостаточном его снабжении кислородом, что ведет к кислородному голоданию.

При этом вследствие недостаточного снабжения будущего малыша питательными веществами возможны нарушения со стороны функций головного мозга, а для процесса родов – преждевременное их начало и тяжелое течение.

Причины преждевременного старения плаценты:

  • сахарный диабет и другие гормональные нарушения в организме матери;
  • аборты, которые делала женщина до наступления настоящей беременности;
  • эндокринные заболевания будущей матери (болезни щитовидной железы);
  • поздний токсикоз – гестоз;
  • курение или употребление матерью алкоголя;
  • хронические нарушения со стороны сердечно-сосудистой системы;
  • гепатит и другие заболевания печени;
  • болезни мочевыделительной системы;
  • инфекции половых путей и матки.

Однако, несмотря на такие угрожающие данные, женщине, которой ставят диагноз стадия зрелости плаценты 2 на сроке менее 33 недель не стоит паниковать. Врач обязательно назначит дополнительные анализы и исследования на кровоток плода.

Если при этом патологии не обнаружится, то женщине не о чем беспокоиться. В случае же подтверждения реальной угрозы для нормальной жизнедеятельности плода назначают эффективное лечение в стационаре.

Как правило, медикаментозный курс направлен на восстановление функций плаценты для полноценного снабжения ребенка всеми питательными веществами.

2 степень зрелости плаценты на сроке, не соответствующему норме, не всегда означает наличие патологии.

Если врач не заметит реальной угрозы преждевременных родов, то, скорее всего, будет назначен курс лечения препаратами Курантил или другими соответствующими лекарственными средствами на дому.

В любом случае женщине следует четко придерживаться рекомендаций врача и регулярно приходить на прием.

И конечно, всегда актуальна рекомендация побольше гулять на свежем воздухе, не менее 2 часов в день. Это отличная профилактика гипоксии плода, а также отличный вспомогательный метод лечения при преждевременном старении плаценты.

Степень зрелости плаценты по неделям

Плацента растет и развивается вместе с ребеночком, которого она защищает. И хорошо, когда ее созревание идет вровень с развитием плода понедельно. Наша статья расскажет о четырех степенях зрелости детского места, а также о проблемах, которые могут возникнуть в период беременности из-за патологий в процессе.

Степень зрелости плаценты 3

Любая мелочь важна для мамы и ее ребенка в период беременности. А состояние плаценты, в которой живет ребенок 9 месяцев своей внутриутробной жизни, – далеко не пустяк. В нашей статье рассмотрим ультразвуковые признаки зрелости плаценты, а также причины преждевременного ее старения.

Cтепень зрелости плаценты

Насколько важна для развивающегося в мамином животике ребенка степень зрелости плаценты? Что означают медицинские показатели этой зрелости и каковы нормы? Как можно узнать о состоянии плаценты? – Ответы на эти и другие вопросы о развитии плаценты читайте в статье.

Толщина плаценты по неделям

Как влияет на развитие плода в утробе толщина плаценты? Какова норма толщины плацентарного органа? Что говорит этот показатель о степени зрелости плаценты и какие возможны патологии, зависящие от уровня толщины? – Ответы найдете в нашей статье.

Источник: https://womanadvice.ru/2-stepen-zrelosti-placenty

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.